Speaker
Description
Če zanemarimo notranje pojave, zadošča deformacija $y:[0,T]\times \Omega\to\mathbb{R}^d$ nelinearnega viskoelastičnega materiala v Kelvin-Voigtovi reologiji sledečih enačbam
$\begin{align*}
- \mathrm{div} \left( \partial_{F} W(\nabla y) + \partial_{ \dot{F} } R(\nabla y, \nabla \dot{y} ) \right) = f &\text{ na $ [0,T] \times \Omega$,} \\
\left( \partial_{F} W(\nabla y) + \partial_{ \dot{F} } R(\nabla y,\nabla\dot y) \right) n = g &\text{ na } [0,T] \times \Gamma_N, \\
y=y_D &\text{ na } [0,T] \times\Gamma_D, \\
y(0,\cdot)=y^0 &\text{ v $ \Omega$.}
\end{align*}
$
Pri tem:
- $[0,T]$ je časovni interval procesa,
- $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ ($d=2$ ali $d=3$) je gladko omejeno območje, ki ustreza referenčni konfiguraciji,
- $W: \mathbb{R}^{d \times d} \to \mathbb{R} $ je gostota elastične energije,
- $R: \mathbb{R}^{d \times d} \times \mathbb{R}^{d \times d} \to \mathbb{R} $ je potencial disipacije,
- $\Gamma_D\cup\Gamma_N$ je disjunktna particija $\partial\Omega$, tako da ima $\Gamma_D$ pozitivno $(d-1)$-dimenzionalno Hausdorffovo mero,
- $f:[0,T]\times\Omega\to\mathbb{R}^d$ je gostota telesnih sil,
- $g:[0,T]\times\Gamma_N\to\mathbb{R}^d$ je gostota površinskih sil.
Standarden prijem je časovna diskretizacija tega problema, ki ga nato pretvorimo v variacijsko obliko. Predstavili bomo dobljeni problem, njegove lastnosti in motivirali njegovo linearizacijo.
