\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper, hcentering , scale={0.8,0.8}]{geometry}


\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{eucal}
\usepackage[slovene]{babel}


\title{Linearizacija viskoelastičnosti za končne pomike}
\author{Martin Jesenko}
\date{}

 


\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{theorem}{Izrek}
\newtheorem*{lemma}{Lema}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{opomba}{Opomba}



%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{document}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\maketitle

V tem prispevku želimo na kratko predstaviti teoretični del članka \cite{DJKV}.
Obravnavamo problem iz nelinearne viskoelastičnosti po Kelvin-Voigtovem reološkem modelu.
Možen pristop je diskretizacija po času, kar nas privede do zaporedja ekstremalnih problemov.
Iz lastnosti le-teh bi pričakovali hitro oscilatorno obnašanje rešitev, česar pa poskusi ne potrjujejo.
Naša domneva je, da je zaradi efektov disipacije treba iskati naslednji približek v okolici prejšnjega, ne pa globalno. Zato bomo definirani lokaliziran ekstremalni problem ter zanj pokazali, da je rešljiv in da je dobra aproksimacija prvotnega. V članku \cite{DJKV} se nahajajo tudi numerični poskusi, ki kažejo na dobro ujemanje rezultatov.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Kelvin-Voigtov reološki model}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Če zanemarimo inercialne učinke, položaj $ y : [0,T] \times \Omega \to {\mathbb R}^d $ nelinearnega viskoelastičnega sredstva v Kelvin-Voigtovem reološkem modelu določa naslednji sistem enačb:
%
\begin{gather*}
\label{eq:viscoel}
- \mathop{\rm div} \Sigma(\nabla y, \nabla \dot{y} )   =  f \text{ na $  [0,T] \times  \Omega$,} \\
\Sigma(\nabla y, \nabla \dot{y} ) n = g \text{ na }  [0,T] \times \Gamma_N, \\
y=y_D \text{ na } [0,T] \times\Gamma_D, \\
y(0,\cdot)=y^0 \text{ na $ \Omega$.}
\end{gather*}
%
Pri tem je
\begin{itemize}
    \item $ \Sigma : {\mathbb R}^{d \times d} \times {\mathbb R}^{d \times d} \to {\mathbb R} $ napetostni tenzor,
    \item $[0,T]$ časovni interval procesa,
    \item $\Omega\subset{\mathbb R}^d$  ($d=2$ ali $d=3$) gladko omejeno območje, ki določa referenčno konfiguracijo, 
    \item $\Gamma_D\cup\Gamma_N$ disjuktna particija roba $\partial\Omega$ z zunanjo normalo $n$, pri čemer ima $ \Gamma_D $ pozitivno $(d-1)$-dimenzionalno Hausdorffovo mero, 
    \item $f:[0,T]\times\Omega\to{\mathbb R}^d$ gostota volumenskih sil, 
    \item $g:[0,T]\times\Gamma_N\to{\mathbb R}^d$ gostota površinskih sil.
\end{itemize}     
%
Predpisane so tudi robne vrednosti $ y_D : [0,T] \times \Gamma_D \to {\mathbb R}^d$ in začetne vrednosti $y^0: \Omega \to {\mathbb R}^d$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Napetostni tenzor}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Napetostni tenzor $ \Sigma $ je pri viskoelastičnosti odvisen tako od gradienta deformacije $ \nabla y $ kot tudi od gradienta njene hitrosti $ \nabla \dot{y} $.
Razdelimo ga na tenzor elastičnosti $ \sigma $ in tenzor disipacije $ \tau $ z definicijama
%
\[ \sigma(F) = \Sigma( F , 0 ) 
\quad \mbox{in} \quad
\tau( F , \dot{F} ) = \Sigma( F , \dot{F} ) - \Sigma( F , 0 ), \]
%
tako da je
%
\[ \Sigma( F , \dot{F} ) = \sigma(F) + \tau( F , \dot{F} ). \]
%
Predpostavimo obstoj potencialov
%
\[ \sigma(F) = \partial_F W(F) 
\quad \mbox{in} \quad
\tau( F , \dot{F} ) = \partial_{ \dot{F} } R( F , \dot{F} ). \]
%
Fizikalno upravičene so naslednje predpostavke za funkcijo shranjene elastične energije $W$:
%
\begin{itemize}
	\item $W$  je gladka na množici matrik s pozitivno determinanto $\mathrm{GL}_+(d)$,
	\item $ W(QF) = W(F) $ za vse $ F \in {\mathbb R}^{d \times d} $ in vse rotacije $ Q \in \mathrm{SO}(d) $,
	\item $ W(F)\ge c(-1+|F|^p) $ za neka $c>0$ in $p>1$ ter vse $F\in{\mathbb R}^{d\times d}$, 
	\item $ W(F)=+\infty $, če $ \det F\le 0 $, \ in \ $ \lim\limits_{\det F\to 0}W(F)=+\infty $.
\end{itemize}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Dopusten potencial disipacije mora zadoščati naslednji invarianci: 
%
\begin{align*}
R(F,\dot{F}) = R(QF,Q(\dot{F} + AF))  \ \ \  \forall  Q \in \mathrm{SO}(d),\, \forall A \in \mathfrak{so}(d)=\{ A \in {\mathbb R}^{d \times d} : A^{\top} = - A \}
\end{align*}
%
za vse $F \in \mathrm{GL}_+(d)$ in vse $\dot{F} \in {\mathbb R}^{d \times d}$.

Z vidika modeliranja je bolj priročno predpostaviti obstoj globalne (gladke) kvazirazdalje $D: \mathrm{GL}_+(d) \times \mathrm{GL}_+(d) \to [0,\infty)$, za katero je $D(F,F) = 0$ za vse $F \in \mathrm{GL}_+(d)$. Iz nje dobimo potencial $R$ po formuli
%
\begin{align*}
R(F,\dot{F}) := \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{2\varepsilon^2} D^2(F+\varepsilon\dot{F},F) = \frac{1}{4} \partial^2_{F_1^2} D^2(F,F) [\dot{F},\dot{F}]
\end{align*}
%
za $F \in \mathrm{GL}_+(d)$, $\dot{F} \in {\mathbb R}^{d \times d}$. Za možne izbire za $D$ glej npr.~\cite{Antman,MOS}.
Tu bomo zaradi enostavnosti vzeli 
%
\[ D(F,G)=| F^\top F - G^\top G |
\quad \mbox{in posledično} \quad
R(F,\dot{F}) = 2 | \mathop{\rm sym} ( F^{\top}  \dot{F} ) |^{2}. \]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Pretvorba v variacijski problem}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Standardna metoda reševanja takih evolucijskih problemov je diskretizacija v času:
Naj bo $\tau>0$ časovni korak, tako da je $T/\tau\in \mathbb{N} $. Pri podanem predhodnem $y^{k-1}_\tau$, za $k=1,\ldots, T/\tau$, iščemo $y_\tau^k$, ki zadošča naslednjim enačbam:
%
\begin{gather*}
- \mathop{\rm div} \left( \partial_{F} W( \nabla y^k_\tau )  + \partial_{\dot F}R(\nabla y_\tau^k, \nabla\tfrac{y^k_\tau-y^{k-1}_\tau}{\tau} )  \right) 
=  f^k_\tau 
:= \tfrac{1}{\tau} \int_{(k-1)\tau}^{k\tau}f(s,\cdot)\ ds 
\quad \text{ na  $\Omega$,} 
\\ 
\left(\partial_FW(\nabla y^k_\tau)   + \partial_{\dot F}R(\nabla y_\tau^k, \nabla\tfrac{y^k_\tau-y^{k-1}_\tau}{\tau})\right)n 
= g^k_\tau 
:= \tfrac{1}{\tau} \int_{(k-1)\tau}^{k\tau}g(s,\cdot) \ ds  
\quad \text{ na } \Gamma_N, \\ 
y^k_\tau =y_D \quad \text{ na } \Gamma_D. 
\end{gather*}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zgornji problem lahko formalno prepišemo v naslednje zaporedje variacijskih problemov:
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Za dani $y^{k-1}_{\tau}\in W^{1,p}(\Omega;{\mathbb R}^d) $ z $ y^{k- 1}_\tau=y_D $ na $ \Gamma_D$ minimiziraj
%
\[ y \mapsto \int_\Omega W(\nabla y(x)) \ dx
- \int_\Omega f^k_\tau(x) \cdot y(x) \ dx
- \int_{ \Gamma_N }g^k_\tau(x) \cdot y(x) \ dS
+\frac{1}{2\tau}\int_\Omega D^2 \left(\nabla y(x),\nabla y^{k-1}_{\tau}(x) \right) \ dx  \]
%
pod pogojem $y\in W^{1,p}(\Omega;{\mathbb R}^d) $, $y=y_D$ na $ \Gamma_D. $ 
($ W^{1,p}(\Omega;{\mathbb R}^d) $ je prostor Soboljeva enkrat šibko odvedljivih funkcij, ki tako same kot njihov gradient ležijo v $L^p$.)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Direktna metoda variacijskega računa}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Za dokaz obstoja ekstremov variacijskih problemov je standardni pristop \emph{direktna metoda variacijskega računa}.
Zato jo bomo spodaj na kratko predstavili.

Naj bo $ \mathcal{X} $ Banachov prostor in 
$ \mathcal{F} : \mathcal{X} \to {\mathbb R} \cup \{ \infty\} $
navzdol omejen funkcional.
Potem $\mathcal{F}$ zagotovo doseže svoj minimum, če se d\'{a} izvesti naslednje tri korake:
%
\begin{itemize}
    \item Poišči minimizirajoče zaporedje $ ( u_j )_j $, tako da $ \mathcal{F}( u_j ) \to \inf \mathcal{F} $.
    \item Pokaži, da $ ( u_j )_j $ vsebuje podzaporedje, ki konvergira v primerni topologiji.
    \item Pokaži, da je $ \mathcal{F} $ v tej topologiji navzdol polzvezen.
\end{itemize}
%
Denimo, da je $ \mathcal{X} $ refleksiven in je $ \mathcal{F} $ koercitiven, to je $\lim_{\|u\|\to \infty} \mathcal{F}(u) = \infty$.
Potem po izrekih Banach-Alaoglu in Eberlein-Šmuljan velja
%
\[ \mathcal{F}( u_j ) \le C 
\Rightarrow \| u_{j} \| \le C
\Rightarrow \exists u_{j_{k}} \rightharpoonup u \ \text{(v šibki topologiji)}. \]
%
Če pokažemo, da je $ \mathcal{F} $ po zaporedjih šibko navzdol polzvezen, potem
%
\[ \mathcal{F}(u) \le \liminf_{k \to \infty} \mathcal{F}( u_{j_{k}} ) = \inf \mathcal{F}. \]
%
Torej $ \mathcal{F} $ res doseže svoj minimum, in sicer v $u$.
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Za integralske funkcionale je znan potreben in zadosten pogoj za tako polzveznost:
%
\begin{theorem}[\cite{Meyers, AcerbiFusco}]
Naj bo $ f: {\mathbb R}^n \times {\mathbb R}^m \times {\mathbb R}^{n \times m} \to {\mathbb R} $ Carath\'{e}odoryjeva funkcija, ki zadošča
%
\[ 0 \le f(x, u, X) \le a(x) + C( |u|^p + |X|^p ) 
\quad \forall x \in {\mathbb R}^n, u \in {\mathbb R}^m, X \in {\mathbb R}^{ m \times n } \]
%
za neke $ C > 0 $, $ a \in L^1( {\mathbb R}^n ) $ in $ p > 1 $. Potem je funkcional
%
\[ u \mapsto \int_{\Omega} f( x , u(x) , \nabla u(x) ) \ dx \]
%
po zaporedjih šibko navzdol polzvezen na $ W^{1,p}( \Omega ; {\mathbb R}^m ) $ natanko tedaj, ko je funkcija 
$f$ kvazikonveksna v zadnjem argumentu.
\end{theorem}

\begin{opomba}
\begin{enumerate}
\item
Funkcija $ f : \Omega \times {\mathbb R}^{N} \to {\mathbb R} $, kjer je $ \Omega \subseteq \mathbb {R}^{M} $ neko območje, opremljeno z Lebesgueovo mero, je \emph{Carath\'{e}odoryjeva}, če je funkcija $ f(x,\cdot) $ zvezna za skoraj $x \in \Omega $ in če je funkcija $ f(\cdot,\xi) $ merljiva za vse $ \xi \in {\mathbb R}^{N} $.
V izreku zgoraj je $ \Omega = {\mathbb R}^n \times {\mathbb R}^m $.
\item
Lokalno omejena Borelova funkcija $ f : {\mathbb R}^{ m \times n } \to {\mathbb R} $ je \emph{kvazikonveksna}, če
%
\[ \int_{ (0,1)^{n} } f( X + \nabla \varphi(x) ) \ dx \ge f(X)
\quad \forall X \in {\mathbb R}^{ m \times n }, \ \forall \varphi \in C^{\infty}_{c}( (0,1)^{n} ; {\mathbb R}^{m} ). \]
\end{enumerate}
\end{opomba}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Linearizacija viskoelastičnosti}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vrnimo se k našemu variacijskemu problemu. 
Če zanemarimo sile ($f=0$, $g=0$), iščemo minimizatorje funkcionala
%
\[ y \mapsto \int_{\Omega} \left( W( \nabla y(x) ) + \frac{1}{2 \tau} D^2( \nabla y(x) , \nabla y_\tau^{k-1}(x) ) \right) \ dx. \]
%
Funkcija $F\mapsto D(F,G)$ za fiksen $G$ ni kvazikonveksna.
Zato bi iz izkušenj z drugimi funkcionali s tem defektom pričakovali, da se bodo v sredstvu tvorile mikrostrukture za približevanje infimumu.
Vendar noben poskus tega ne pokaže.
To nas privede do domneve, da je zaradi učinka disipacije dovolj energijski funkcional minimizirati v majhni okolici prejšnjega stanja in ne globalno.

Če pišemo $ y_\tau^{k} = y_\tau^{k-1} + \tau z_\tau^{k} $, problem pretvorimo v iskanje minimizatorja $z_\tau^{k}$ funkcionala
%
\begin{equation*} \label{eq:min-functional-z-first}
z\mapsto \int_{\Omega} \left( W( \nabla y_\tau^{k-1}(x) + \tau \nabla z(x) )  + \frac{1}{2 \tau} D^2( \nabla y_\tau^{k-1}(x) + \tau \nabla z(x) , \nabla y_\tau^{k-1}(x) ) \right) 
 \ dx. \end{equation*}
%
Definirajmo za primeren $ y : \Omega \to {\mathbb R}^{d} $ in poljuben $ \tau > 0 $ funkcional
%
\begin{equation*} 
 {\cal F}_{y,\tau}(z) :=  \int_{\Omega} \left( \tfrac{ W( \nabla y(x) + \tau \nabla z(x) ) - W( \nabla y(x)) }{\tau} + \tfrac{ D^2( \nabla y(x) + \tau \nabla z(x) , \nabla y(x) ) }{2 \tau^2}  \right) 
 \ dx.
\end{equation*}
%
Torej želimo poiskati minimizator funkcionala $ {\cal F}_{y_\tau^{k-1},\tau}$.
Ker je $ \tau $ majhen, si za fiksen $y$ oglejmo limito $\lim_{\tau \to 0} {\cal F}_{y,\tau} $.
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pišimo $ Y := \nabla y(x) $ in $ Z := \nabla z(x) $ in predpostavimo $\det Y \ge c > 0$ in $ |Y|,|Z| \le M <\infty$. 
Iz gladkosti funkcije $W$ sledi, da je 
%
\begin{equation*}
\tfrac{1}{\tau} ( W( Y + \tau Z ) - W(Y) ) 
= \partial_F W(Y) : Z +  o(\tau).
\end{equation*}
%
(Z $A:B=\mathrm{Sled} (B^\top A) $ označujemo Frobeniusov skalarni produkt matrik.)
%
Disipativni člen pa lahko ocenimo kot
%
\begin{equation*}
\tfrac{1}{ 2 \tau^{2} } D( Y + \tau Z , Y )^{2} 
= \tfrac{1}{ 2 \tau^{2} } | ( Y + \tau Z )^{\top} ( Y + \tau Z ) - Y^{\top} Y |^{2} 
= \tfrac{1}{2} | Z^{\top} Y + Y^{\top} Z + \tau Z^{\top} Z |^{2} 
= 2 | \mathop{\rm sym}( Y^{\top} Z ) |^{2} + o( \tau ).
\end{equation*}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
To nas privede do naslednjega rezultata:
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{lemma}
Naj bo $ y \in W^{1,\infty}( \Omega ; {\mathbb R}^{d} ) $ z $\det \nabla y \ge c>0$. 
Funkcional $ \mathcal{F}_{y,\tau} $ je moč na množici $ \{ z \in W^{1,\infty}( \Omega ; {\mathbb R}^{d} ) : \| \nabla z \|_{ L^{\infty} } \le M  \} $ enakomerno aproksimirati s funkcionalom
%
\begin{equation*}
 \mathcal{F}_y(z) = \int_{\Omega} \left( \partial_F W( \nabla y(x) ) : \nabla z(x) + 2 | \mathop{\rm sym}( ( \nabla y(x) )^{\top} \nabla z(x) ) |^{2} \right) 
\ dx  
\end{equation*}
%
tako, da je
%
\[ | \mathcal{F}_{y,\tau}(z) - \mathcal{F}_y(z) | \le \tau C, \]
%
kjer je konstanta $C$ odvisna le od $ \Omega$, $\| \nabla y \|_{ L^{\infty} }$, $c$, $M$ in $ W $.
\end{lemma}

Oglejmo si limitni funkcional $ \mathcal{F}_y $. Naj bo $d=3$ in izberimo $ y \in C^{2}( \overline{\Omega} ; {\mathbb R}^{3} ) $ tako da $ \inf_{x \in \Omega} \det \nabla y(x) > 0 $.
Ugotoviti želimo, če ima $ \mathcal{F}_y $ željene lastnosti za uporabo direktne metode.
Funkcija pod integralom je očitno kvazikonveksna v spremenljivki $ \nabla z $, saj je celo konveksna. Ni pa jasno dvoje:
%
\begin{itemize}
    \item
    Na prvi pogled se zaradi prisotnosti prvega člena $ \partial_F W( \nabla y(x) ) : \nabla z(x)$ zdi, da $\mathcal{F}_y$ sploh ni navzdol omejen.
    \item 
    Kvadratni člen ni v celoti koercitiven, saj za poševno simetrične $( \nabla y(x) )^{\top} \nabla z(x)$ velja
    $$2 | \mathop{\rm sym}( ( \nabla y(x) )^{\top} \nabla z(x) ) |^{2}  = 0. $$
\end{itemize}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Najprej pokažimo navzdol omejenost:
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Iz odvedljivosti in invariantnosti na rotacije funkcije $ W : {\rm GL}_{+}(d) \to {\mathbb R} $ hitro sledi, 
da je $ U^{-1} \partial_F W(U) $ simetrična za vsako matriko $ U \in {\rm GL}_{+}(d) $.
Pri oznakah kot zgoraj je integrand enak
$ \partial_F W( Y ) : Z + 2 | \mathop{\rm sym}( Y^{\top}  Z ) |^{2} $.
Glede na to, da je  $ Y^{-1} \partial_F W(Y) $ simetrična, za vsak $ Z \in {\mathbb R}^{d \times d} $ velja
%
\begin{equation*}
\partial_F W(Y) \colon Z 
= Y Y^{-1} \partial_F W(Y) : Z  
= Y^{-1} \partial_F W(Y) : Y^{\top} Z 
= Y^{-1} \partial_F W(Y) : \mathop{\rm sym}( Y^{\top} Z ). 
\end{equation*}
%
%Torej lahko integrand zapišemo v obliki
%
%\begin{align*} 
%Y^{-1} \partial_F W(Y) : \mathop{\rm sym}( Y^{\top} Z ) + 2 | \mathop{\rm sym} ( Y^{\top} Z ) |^{2}
%\end{align*}
Torej je integrand kvadratna forma matrike $ \mathop{\rm sym}( Y^{\top} Z ) $ in zato navzdol omejen.
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lotimo se še koercitivnosti:
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gre za podobno vprašanje kot pri linearni elastičnosti. Tam imamo spodnjo mejo oblike
%
\[ \mathcal{F}(u) \ge C_1 \| \mathop{\rm sym} \nabla u \|_{ L^2( \Omega ) }^2 - C_2. \]
%
Znano je, da v jedru operatorja $ \mathop{\rm sym} \nabla $ ležijo natanko polja infinitezimalnih togih pomikov: 
%
\[ \mathop{\rm sym} \nabla u = 0 \iff u(x) = a + A x \mbox{ za neka } a \in {\mathbb R}^d \mbox{ in } A \in \mathfrak{so}(d). \]
%
Dejansko so ta tudi edina, ki nam res delajo težave, saj velja Kornova neenakost v sledeči obliki:

Na vsakem podprostoru $ U \subset W^{1,2}( \Omega ; {\mathbb R}^d ) $, za katerega je $ U \cap \ker \mathop{\rm sym} \nabla = \{0\} $, velja
%
\[ \| \nabla u \|_{ L^2( \Omega ) } \le C \| \mathop{\rm sym} \nabla u \|_{ L^2( \Omega ) }
\quad \forall u \in U. \]
%
Primer takega podprostora je tudi množica funkcij z ničelno vrednostjo na delu roba $ \{ u : u|_{ \Gamma_{D} } = 0 \} $.
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
V našem primeru potrebujemo posplošitev teh rezultatov, ki jih najdemo v \cite{Neff2002}.
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Po analogiji najprej določimo jedro pripadajočega operatorja.
Pri zgoraj navedenih predpostavkah o funkciji $y$ velja
%
\[ \mathop{\rm sym}( (\nabla y)^{\top} \nabla z ) = 0 \iff z(x) = a + A y(x) \mbox{ za neka } a \in {\mathbb R}^3 \mbox{ in } A \in \mathfrak{so}(3). \]
%
Označimo to jedro z $ \mathcal{N}_y $.
Velja tudi pripadajoča posplošena Kornova neenakost: 

Za vsak podprostor $ U \subset W^{1,2}( \Omega ; {\mathbb R}^{3} ) $ z $ U \cap \mathcal{N}_y = \{0\} $ obstaja konstanta $C>0$, tako da
%
\[ \| \nabla z \|_{ L^{2}( \Omega ) } \le C \| \mathop{\rm sym}( (\nabla y)^{\top} \nabla z ) \|_{ L^{2}( \Omega ) }
\quad \forall z \in U. \]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Obstoj minimizatorjev}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Limitni funkcional ima željene lastnosti, tako da lahko zapišemo in dokažemo
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{theorem}
Za dani $ y\in C^{2}(\overline{\Omega};{\mathbb R}^{3})$ z $ \det \nabla y > 0 $ definiramo funkcional 
\[
\mathcal{F}_y(z) = \int_{\Omega}  \left( \partial_F W( \nabla y(x) ) : \nabla z(x) + 2 | \mathop{\rm sym}( ( \nabla y(x) )^{\top} \nabla z(x) ) |^{2} \right) 
\ dx.
\]
%
\begin{enumerate}
    \item[\rm{(a)}] 
    Funkcional $ \mathcal{F}_{y} $ doseže na vsakem podprostoru $ U \subset  W^{1,2}( \Omega ; {\mathbb R}^{3} ) $ z $ U \cap \mathcal{N}_{y} = \{ 0 \} $ svoj minimum v natanko eni funkciji. Tak podprostor je tudi $ U = \{ z \in W^{1,2}( \Omega ; {\mathbb R}^{3} ) : z|_{\Gamma_{D}} = 0 \} $ za neko gladko podmožico $ \Gamma_{D} \subset \partial \Omega $ z $ \mathcal{H}^{2}( \Gamma_{D} ) > 0 $.
    \item[\rm{(b)}] 
    Na celotnem $ W^{1,2}( \Omega ;{\mathbb R}^{3} ) $ minimizatorji $ \mathcal{F}_{y} $ obstajajo in so enolični do prištevanja elementov iz $ \mathcal{N}_{y} $.
\end{enumerate}
\end{theorem}
%
\begin{proof}
Naj bo $U$ podprostor z $ U \cap \mathcal{N}_{y} = \{ 0 \} $. Funkcional $ \mathcal{F}_y $ je strogo konveksen na $U$,
saj je za dani $Y \in {\mathbb R}^{3 \times 3} $ funkcija 
%
\[ f_{Y}(Z) = Y^{-1} \partial_F W(Y) \colon \mathop{\rm sym}( Y^{\top} Z ) + 2 | \mathop{\rm sym} ( Y^{\top} Z ) |^{2} \]
%
kompozitum linearne funkcije $ Z \mapsto \mathop{\rm sym}( Y^{\top} Z ) $ in strogo konveksne funkcije
$ X \mapsto Y^{-1} \partial_F W(Y) : X + 2 |X|^2 $.
Ker iz posplošene Kornove in Poincar\'{e}jeve enačbe sledi koercitivnost
%
\[ \mathcal{F}_y(z) \ge C \| \mathop{\rm sym}( (\nabla y)^{\top} \nabla z ) \|_{ L^{2}( \Omega ) } - C \ge C \| \nabla z \|_{ L^{2}( \Omega ) } - C \ge C \| \nabla z \|_{ W^{1,2}( \Omega ) } - C, \]
%
obstaja na $U$ enoličen minimizator $ z_{U} $.

Po točki (a) obstaja enoličen minimizator $ z_{\mathcal{N}_{y}^{\perp}} $ na $\mathcal{N}_{y}^{\perp}$. 
Množica vseh minimizatorjev na $ W^{1,2}( \Omega ; {\mathbb R}^{3} ) $ je torej
%
$ z_{\mathcal{N}_{y}^{\perp}} + \mathcal{N}_{y}. $
%
\end{proof}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Sklep}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ogledali smo si primer modeliranja viskoelastičnega sredstva.
Iskanje rešitev smo formulirali v obliki zaporedja variacijskih problemov.
S pomočjo linearizacije smo dobili enostavnejši problem, za katerega smo pokazali, da ima pri predpisanih robnih vrednostih enolično rešitev. 
V članku \cite{DJKV} je tudi poročilo o numeričnih rezultatih, ki kažejo, da lineariziran problem dobro aproksimira prvotnega.



\begin{thebibliography}{5}
    \bibitem{AcerbiFusco}
    E.~Acerbi, N.~Fusco. 
    \emph{Semicontinuity problems in the calculus of variations}. 
    Arch.~Rational Mech.~Anal., 86(2):125–145, 1984
	\bibitem{Antman}
	S.~S.~Antman. 
    \emph{Physically unacceptable viscous stresses}. 
    Z.~Angew.~Math.~Phys., 49(6):980-988, 1998
	\bibitem{DJKV}
    P.~Dondl, M.~Jesenko, M.~Kružík, J.~Valdman. 
    \emph{Linearization and computation for large-strain visco-elasticity}. 
    Math.~Eng.~5(2):Paper No.~030, 2023
    \bibitem{Meyers}
    N.~G.~Meyers. 
    \emph{Quasi-convexity and lower semi-continuity of multiple variational integrals of any order}. Trans.~Amer.~Math.~Soc., 119:125–149, 1965
    \bibitem{MOS}
	A.~Mielke, C.~Ortner, and Y.~\c{S}engul. 
    \emph{An approach to nonlinear viscoelasticity via metric gradient flows}. 
    SIAM J.~Math.~Anal., 46(2):1317–1347, 2014
	    \bibitem{Neff2002}
    P.~Neff. 
    \emph{On Korn's first inequality with non-constant coefficients}. 
    Proc.~Roy.~Soc.~Edinburgh Sect.~A 132(1):221–243, 2002
\end{thebibliography}













\end{document}










