\documentclass[a4paper,12pt, article]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb, amsfonts,amscd,verbatim}
\usepackage{lmodern} 
\usepackage{tikz}
\usepackage[all,cmtip]{xy}
\usetikzlibrary{%
  matrix,%
  calc,%
  arrows%
}

\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{problem}{Problem}
\newtheorem{example}{Example}
\newtheorem{question}{Question}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
\newcommand{\AAA}{\mathbb A}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\LL}{\mathbb L}
\newcommand{\BB}{\mathbb B}
\newcommand{\WW}{\mathcal W}
%simplices 
\newcommand{\C}{\textup{Cech}}
\newcommand{\Ccl}{\overline{\textup{Cech}}}
\newcommand{\R}{\textup{Rips}}
\newcommand{\Rcl}{\overline{\textup{Rips}}}
\newcommand{\sR}{\textup{sRips}}
\newcommand{\sRcl}{\overline{\textup{sRips}}}
\newcommand{\D}{\textup{Diam}}
\newcommand{\B}{\overline{B}}
\newcommand{\Nerve}{\mathcal{N}}
\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\U}{\mathcal{U}}
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}
\newcommand{\Ell}{\mathcal{L}}


\newcommand{\sRips}{\textup{sRips}}
\newcommand{\sRipsCl}{\overline{\textup{sRips}}}
\newcommand{\Diam}{\textup{Diam}}
\newtheorem{definicija}{Definicija}
\newtheorem{oznake}{Oznake}
\newtheorem{domneva}{Domneva}




\newcommand\K{7}



\newcommand{\Conv}{\textup{Conv}}

\DeclareMathOperator*{\arginf}{arg\,inf}

%%% END DEFINICIJE ZA APPROXIMATE NERVE



\newtheorem{step}{Step}
\newtheorem{izrek}{Izrek}
\newtheorem{rezultat}[izrek]{Rezultat}
\newtheorem{lema}[izrek]{Lema}
\newtheorem{posledica}[izrek]{Posledica}
\newtheorem{trditev}[izrek]{Trditev}
\newtheorem{opomba}[izrek]{Opomba}


\newcommand{\eopf}{\raisebox{0.8ex}{\framebox{}}} %za kvadratek na koncu dokaza%

\newenvironment{dokaz}%
{\noindent{\emph{Dokaz.}}\ }%
{\hfill\eopf\par\bigskip}% 
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
%\renewcommand{\bibname}{Literature}

\begin{document}

%---------------------------------------------------------------------------
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
\begin{center} \LARGE{\bf Vztrajna homologija in rekonstrukcijski rezultati}
\large \\ Boštjan Lemež \end{center}
\bigskip


%---------------------------------------------------------------------------
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Uvod}

Računska topologija se ukvarja z algoritmičnimi rešitvami topoloških problemov. V tem okviru se je vztrajna homologija v kratkem času izkazala za eno izmed najučinkovitejših metod v topologiji, računalništvu in ostalih znanostih. Vztrajna homologija je naravna posplošitev homologije in je v nekem smislu njena funktorialna verzija, ki ju uporabimo na filtracijah. Vztrajna homologija nam poda ne le topološke, ampak tudi geometrijsko informacije o prostoru. Proučuje celoten spekter homoloških grup po vseh nivojih, vključno s povezavami med temi nivoji. Prav tako lahko z primerno omejitvijo koeficientov dosežemo ravninsko prezentacijo vztrajne homologije z vztrajnostnim diagramom ali s črtno kodo, kar je uporabno pri analizi podatkov iz drugih ved v znanosti. Pomembna lastnost teh diagramov je, da so stabilni za majhne spremembe prostorov.



Selektivni Ripsov kompleks je posplošitev Vietoris-Ripsovega simplicialnega kompleksa, kjer imamo, namesto enega parametra, zaporedje parametrov. Osredotočili se bomo na rekonstrukcije metričnih prostorov do homotopskega tipa s pomočjo selektivnega Ripsovega kompleksa. Njegove lastnosti nam omogočajo detektirati več lokalnih lastnosti, kot z Vietoris-Ripsovim kompleksom.

Pokazali bomo tudi ozadje glavnega rekonstrukcijskega rezultata s selektivnimi Ripsovimi kompleksi, ki se glasi:
Naj bo $X$ sklenjena Riemannova mnogoterost. Tedaj obstajajo takšni parametri $r_i>0$, da je selektivni Ripsov kompleks na $X$ (s parametri $r_i$) homotopsko ekvivalenten $X$. Več podrobnosti o rekonstukcijskih rezultatih, izreku o živcu, geodezičnih prostorih glej: \cite{Hausmann,LemezVirk,LemezVirk2,VirkRipsAsNerves,VirkSRips1,ZV2}.



%---------------------------------------------------------------------------
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Definicije in znani rezultati}

Naj bo $A\subseteq X$ podprostor metričnega prostora $(X,d)$ in naj bo $r>0$ poljuben skalar. Za vsak $x\in X$ naj bo $B_A(x,r)=\{a\in A\ |\ d(a,x)<r\}$ odprta okolica točke $x$.  Če je $A=X$ pišemo $B_A(x,r)=B(x,r)$. Diameter prostora $A$ je definiran kot $\dis\D(A)=\sup_{x,y\in A}\{d(x,y)\}$.



\begin{definicija}[Selektivni Ripsov kompleks]
Naj $A\subseteq X$ podprostor metričnega prostora $X$ in naj bo $\tilde{r}=(r_1,r_2,\ldots)$ padajoče zaporedje pozitivnih števil ($r_1\geq r_2\geq\ldots>0$). \textbf{Selektivni Ripsov kompleks} $\sR(A;r_1,r_2,\ldots)$ je abstrakten simplicialni kompleks definiran z naslednjim pravilom:
\begin{itemize}
	\item $A$ je množica točk,
	\item končna podmnožica $\sigma\subset A$ je $n$-simpleks, če za vsak $i=1,\ldots,n$ in za vsak  $k=1,\ldots,i$ obstajajo množice $U^i_k\subseteq A$, da velja $$\sigma=U^i_1\cup U^i_2\cup\ldots\cup U^i_i,$$ kjer je $\Diam(U^i_k)<r_i$.
\end{itemize}
\end{definicija}





Metričen prostor $(X,d)$ je \textbf{geodezičen}, če za vsak $x,y\in X$ obstaja pot, \textbf{geodetka}, od $x$ do $y$ dolžine $d(x,y)$.

\begin{definicija}[Hausmann \cite{Hausmann}] 
Naj bo $X$ geodezičen prostor. Definiramo $r(X)\geq 0$ kot najmanjšo zgornjo mejo množice realnih števil $r$, ki zadošča naslednjim lastnostim:
\begin{enumerate}
\item Za vsak $x,y\in X$, kjer je $d(x,y)<2r$ obstaja enolična geodetka od $x$ do $y$ dolžine $2r$.
\item Naj bodo $x,y,z,u \in X$, da velja $d(x,y)<r$, $d(u,x)<r$, $d(u,y)<r$ in naj bo $z$ točka na najkrajši geodetki od $x$ do $y$. Tedaj $d(u,z)\leq \max\{d(u,x),d(u,y)\}$.
\item Če sta $\gamma$ in $\gamma'$ parametrizaciji geodetk, da velja $\gamma(0)=\gamma'(0)$ in če je $0\leq s$, $s'<r$ in $0\leq t<1$, tedaj je $d(\gamma(ts),\gamma'(ts'))\leq d(\gamma(s),\gamma'(s'))$.
\end{enumerate} 
\end{definicija}

Za vsako sklenjeno Riemannovo mnogoterost $X$ velja, da je $r(X)>0$ (\cite{Hausmann}). \textbf{Zvezdast radij} $r(X)$ bomo označevali z $\rho$. Naj bo $A\subseteq X$. Pravimo, da je $A$ \textbf{zvezdasta} s središčem v $x_0\in A$, če so za vsak $x\in A$ vse geodetke od $x_0$ do $x$ v $A$.



Glavna metoda dokazovanja rekonstrukcijskega rezultata je izrek o živcu. Živec odprtega pokritja je vpeljal Aleksandroff leta 1928. Prve klasične verzije izreka o živcu pa sta dokazala Borsuk in Leray.  

\begin{definicija}
Pokritja $\mathcal{U}$ prostora $X$ je \textbf{dobro odprto pokritje}, če so vse množice $\mathcal{U}$ odprte in vsi končni preseki množic iz $\mathcal{U}$ bodisi prazni bodisi kontraktibilni.
\end{definicija}

Najprej definiramo živec pokritja:

\begin{definicija}
Naj bo $\U$ množica podmnožic topološkega prostora $X$.
\textbf{Živec} od $\U$ je abstraktni simplicialni kompleks  $\Nerve(\U)$ definiran kot:
\begin{itemize}
	\item vsi neprazni elementi od $\U$ so točke v $\Nerve(\U)$,
	\item končna podmnožica $\sigma\in \U$ je simpleks, če $\dis\bigcap_{U\in \sigma}U\neq \emptyset$.
\end{itemize}
\end{definicija}

\begin{izrek}[Izrek o živcu]

 Naj bo $\mathcal{U}$ dobro pokritje kompaktnega metričnega prostora $X$. Tedaj velja:  $$X \simeq \Nerve(\mathcal{U}).$$ 
 
 
\end{izrek}

%---------------------------------------------------------------------------
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Rekonstrukcijski rezultat s selektivnim Ripsovim kompleksom}
\addcontentsline{toc}{subsection}{Rekonstrukcijski rezultat s selektivnim Ripsovim kompleksom}

Najprej si bomo ogledali posplošitev Hausmannovega rekonstrukcijskega izreka na selektivne Ripsove komplekse \cite{LemezVirk}. Če se omejimo na Vietoris-Ripsove komplekse, potem je ta dokaz nov dokaz Hausmannovega rekonstrukcijskega rezultata. Naša glavna metoda bo uporaba izreka o živcu. Pokazali bomo tudi funktorialni rekonstrukcijski rezultat sklenjenih Riemannovih mnogoterosti. 

V glavnem rezultatu rekonstruiramo sklenjeno Riemannovo mnogoterost do homotopskega tipa s selektivnimi Ripsovimi kompleksi.
 
Za nadaljevanje fiksirajmo geodezičen prostor $X$ z zvezdastim radijem $\rho>0$ in skalarje $\tilde{r}=r_1,r_2,\ldots$, da velja:  $$\rho/2\geq r_1\geq r_2\geq r_3\geq\ldots.$$

Oglejmo si naslednje lastnosti:

\begin{lema}
Naj bo $x\in X$ in naj bo $A\subseteq B(x,\rho/2)$ zvezdasta podmnožica s središčem v $a\in A$. Tedaj je $\sRips\left(A;r_1, r_2,\ldots\right )$ kontraktibilen za poljubno izbiro parametrov $r_1\geq r_2\geq r_3\geq\ldots$.
\end{lema}


\begin{lema}
Za poljuben $\alpha \leq \rho/2$ je množica $\mathcal{U}=\{B(x,\alpha)\ |\ x\in X\}$ dobro odprto pokritje $X$.
\end{lema}


\begin{lema}
Za poljubno kolekcijo podmnožic $A_1, A_2, \ldots, A_k\subset X$ velja 
 $$\bigcap_{i=1}^k\sRips\left (A_i; r_1,r_2,\ldots\right )=\sRips\left (\bigcap_{i=1}^k A_i ; r_1,r_2,\ldots\right ).$$
\end{lema}

Nadalje vpeljemo pokritje od $\sRips\left (X; r_1,r_2,\ldots\right )$.
\begin{lema}
Množica $\mathcal{W'}=\{\sRips\left (B(x,\rho/2); r_1,r_2,\ldots\right )\ |\ x\in X\}$ je pokritje prostora $\sRips\left (X; r_1,r_2,\ldots\right )$.
\end{lema}

Zaprto pokritje $\mathcal{W'}$ lahko malenkost napihnemo, da dobimo izomorfno odprto pokritje $\mathcal{W}$.

\begin{lema}
Odprto pokritje $\mathcal{W}$ prostora $\sRips\left (X; r_1,r_2,\ldots\right )$ je dobro odprto pokritje.
\end{lema}



\begin{trditev}
Naj bo $\mathcal{U}=\{B(x,\rho/2)\ |\ x\in X\}$ in naj bo $\mathcal{W}$ odprto pokritje prostora $\sRips\left (X; r_1,r_2,\ldots\right )$. Tedaj velja $$\Nerve(\mathcal{U})\cong \Nerve(\mathcal{W}).$$
\end{trditev}

Naslednji izrek je posplošitev Hausmannovega izreka \cite[Izrek 3.5]{Hausmann} na selektivne Ripsove komplekse.

\begin{izrek} [Lemež, Virk, 2021]
Naj bo $X$ geodezičen prostor z zvezdastim radijem $\rho>0$ in naj bo $\tilde{r}=\{r_1,r_2,\ldots\}$ takšno zaporedje pozitivnih števil, da velja $\rho/2\geq r_1\geq r_2\geq r_3\geq\ldots$. Tedaj je $$X \simeq \sRips\left (X; \tilde{r}\right ).$$
\end{izrek}

Skica dokaza je naslednja: 

Naj bo $X$ geodezični prostor z $\rho>0$ in naj bo $\alpha\leq \rho/2$.
\begin{enumerate}
\item Pokritje $$\displaystyle\mathcal {U}=\{ B(x,\alpha)\ |\ x\in X\}$$ je dobro pokritje prostora $X$, saj je $\alpha \leq \rho/2$.
\item Pokritje $\mathcal{W'}=\{\sRips\left (B(x,\rho/2); \tilde{r}\right )\ |\ x\in X\}$ je dobro pokritje prostora $\sRips\left (X; \tilde{r}\right )$.
\item $W$ dobimo tako, da elemente pokritja $W'$ napihnemo.

\item Vzpostavimo naslednje povezave:

$$X\stackrel{(i)}{\simeq} \Nerve(\mathcal{U})\stackrel{(ii)}{\cong} \Nerve(\mathcal {W})\stackrel{(iii)}{\simeq} \sRips (X; \tilde{r} )$$

\item Po izreku o živcu sledi, da je $X \simeq \Nerve(\mathcal{U}) $. Od tod sledi \textbf{(i)}.

\item Pokritji $\mathcal{U}$ in $\mathcal{U}$ sta izomorfni. Od tod sledi \textbf{(ii)}.
\item $\mathcal {W}$ je dobro odprto pokritje od $\sRips\left (X; r_1,r_2,\ldots\right )$. Po izreku o živcu sledi \textbf{(iii)}.
\end{enumerate}

S tem smo rekonstuirali sklenjeno Riemannovo mnogoterost do homotopskega tipa s selektivnimi Ripsovimi kompleksi za primerno majhne parametre. Ta rezultat je posplošitev Hausmannovega rekonstrukcijskega izreka. Kot poseben primer je ta dokaz tudi nov dokaz rekonstrukcijskega izreka za Vietoris-Ripsov kompleks, saj je glavna metoda v tem dokazu izrek o živcu. 

%---------------------------------------------------------------------------
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thebibliography}{99}


\bibitem{Hausmann}	J.\ C.\ Hausmann, {\em On the Vietoris-Rips complexes and a cohomology theory for metric spaces}, Ann. of Math. Stud., \textbf{138} (1995), 175--188.


\bibitem{LemezVirk} B.\ Leme\v z in \v Z. Virk, {\em Reconstruction properties of selective Rips complexes}, Glas. Mat. Ser. III, \textbf{57} (2022), 73--88.

\bibitem{LemezVirk2} B.\ Leme\v z in \v Z. Virk, {\em Finite reconstruction with selective Rips complexes}, arXiv:2205.05525, 2022.




\bibitem{VirkRipsAsNerves} \v Z.\ Virk, {\em Rips complexes as nerves and a functorial dowker-nerve diagram}, Mediterr.\ J.\ Math., \textbf{58} (2021).



\bibitem{VirkSRips1} \v Z.\ Virk, {\em Persistent homology with selective rips complexes detects geodesic circles}, arXiv:2108.07460, 2021.


\bibitem{ZV2}
\v Z.\ Virk, \emph{Footprints of geodesics in persistent homology}, 
arXiv:2103.07158, 2021.




\end{thebibliography}

\end{document}
