\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{fullpage} 
\usepackage[toc,page]{appendix} 
\usepackage[pdftex]{graphicx} % for figures
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{caption}
\usepackage{subcaption}

\captionsetup{font=small}

\newtheorem{definicija}{Definicija}


\title{Natančne predstavitve delov sfere nad platonskimi telesi s pomočjo racionalnih S-ploskev}
\author{Ada Šadl Praprotnik\thanks{Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani \\ \hangindent=0.45cm $^\circ$Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko, Ljubljana}~$^{,\circ}$, \small \texttt{ada.sadl-praprotnik@imfm.si} \\ Jan Grošelj$^{*,\circ}$, \small \texttt{jan.groselj@fmf.uni-lj.si}}
\date{}

 

\begin{document}
\maketitle


\section{Uvod}
Pri modeliranju in grafičnem oblikovanju s pomočjo računalnika pogosto potrebujemo enostavno predstavitev osnovnih geometrijskih objektov, katerih klasični predstavnik je prav sfera. Znano je, da lahko sfero s polinomsko parametrizacijo le aproksimiramo, v kolikor potrebujemo njeno natančno predstavitev pa moramo uporabiti racionalno reprezentacijo. V okviru tega prispevka bomo s pomočjo večstranih Bézierjevih ploskev predstavili metodo za natančne predstavitve delov sfere, ki se razpenjajo nad ploskvami sferi včrtanih platonskih teles. 

V nadaljevanju bomo najprej definirali racionalne večstrane Bézierjeve ploskve, t.i.~S-ploskve, nato pa bomo predstavili splošno metodo, ki temelji na lastnostih platonskih teles in omogoča natančno predstavitev dela sfere v obliki S-ploskve. Predstavljeno metodo bomo nato uporabili na ploskvah vseh petih platonskih teles. Dobljene S-ploskve bodo definirane nad 3,~4 ali 5 stranimi domenami, odvisno od izbire platonskega telesa. Opisani pristop združuje dve že znani konstrukciji, ki temeljita na trikotnih in tenzorskih Bézierjevih ploskvah \cite{cobb,farin}, hkrati pa predstavi tri nove ploskve, kar omogoča predstavitev sfere nad vsemi petimi platonskimi telesi. 

\section{S-ploskve}
S-ploskve so večstrane Bézierjeve ploskve, ki združujejo trikotne in tenzorske Bézierjeve ploskve, hkrati pa predstavljajo njihovo posplošitev; S-ploskev lahko namreč definiramo na poljubni $n$-strani konveksni domeni, $n\geq 3$. 

\begin{definicija}
        \label{def:S}
        Racionalna $n$-strana S-ploskev globine $d$ je preslikava $S:P \to \mathbb{R}^m, m \in \mathbb{N},$ oblike $S = B \circ E$, kjer je 
        \begin{itemize}
            \item $E:P\to \Delta$ vložitev $n$-kotnika $P \subset \mathbb{R}^2$ v simpleks $\Delta$ dimenzije $n-1$ in
            \item $B: \Delta \to \mathbf{R}^m$ racionalna Bézierjeva preslikava, ki simpleks $\Delta$ preslika v ploskev v $\mathbb{R}^m$.
        \end{itemize}
        Natančneje,
            \begin{equation*}
                S(\mathbf{p}) = \frac{ \displaystyle \sum_{\mathbf{i} \in \mathcal{I}^d_n} w_{\mathbf{i}} \mathbf{b_i} B_{\mathbf{i}}^d(E(\mathbf{p}))}{\displaystyle \sum_{\mathbf{i}\in \mathcal{I}^d_n} w_{\mathbf{i}} B_{\mathbf{i}}^d(E(\mathbf{p}))}, \quad \mathbf{p} \in P,
            \end{equation*}
            kjer je $\mathcal{I}^d_n=\{(i_1,\ldots,i_n) \in \mathbb{N}_0^{n}~|~\sum_{k=1}^ni_k = d\}$ množica multi-indeksov $\mathbf{i}$.
            Točke $\mathbf{b_i} \in \mathbb{R}^m$ imenujemo kontrolne točke, skalarje $w_{\mathbf{i}} \in \mathbb{R}_0^+$ pa uteži. Funkcije $B_{\mathbf{i}}^d$ predstavljajo Bernsteinove bazne polinome več spremenljivk stopnje $d$. 
    \end{definicija}

Robne krivulje S-ploskve globine $d$ so Bezierjeve krivulje stopnje $d$. V potenčni bazi lahko S-ploskev predstavimo kot kvocient dveh polinomov, katerih stopnja v splošnem ni enaka $d$ in je odvisna od izbire vložitve $E$. V izogib dvojni uporabi besede \emph{stopnja}, število $d$ v definiciji S-ploskve imenujemo \emph{globina}. Vložitev $E$ mora biti izbrana tako, da preslika točke na robu $n$-kotnika na rob simpleksa, točke v notranjosti $n$-kotnika pa v notranjost simpleksa. Izbira preslikave $E$ ne vpliva na geometrijo S-ploskve, le na njeno parametrizacijo. Več o S-ploskvah lahko bralec prebere v \cite{loop}. 


\section{Metoda za predstavitev dela sfere v obliki S-ploskve}
\label{poglavje_metoda}
V tem poglavju bomo predstavili t.i.~metodo kompozituma, ki omogoča predstavitev dela sfere v obliki S-ploskve. Metoda kompozituma temelji na uporabi stereografske projekcije. 

\subsection{Stereografska projekcija}
Stereografska projekcija $\sigma$ je preslikava, ki točke na neki ravnini preslika na dano sfero. V nadaljevanju navajamo predpis za slikanje točk iz ravnine $\Pi = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3~|~z=-1\}$ na enotsko sfero $\Sigma$,
$$\Sigma = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3~|~x^2+y^2+z^2=1\}.$$
Naj bo $\mathbf{\tilde{x}} = (x,y,-1)$ točka v ravnini $\Pi$. Njeno sliko $\mathbf{x}$ na sferi $\Sigma$ dobimo tako, da skozi točko $\mathbf{\tilde{x}}$ in sferični severni pol, tj.~točko $(0,0,1)$, potegnemo premico. Točka $\mathbf{x}$ je definirana kot presečišče dobljene premice in sfere $\Sigma$. Predpis za stereografsko projekcijo je
\begin{equation}
    \label{stereo}
    \sigma(x,y,-1) = \left(\tfrac{4x}{x^2+y^2+4}, \tfrac{4y}{x^2+y^2+4},\tfrac{x^2+y^2-4}{x^2+y^2+4}\right),
\end{equation}
predpis za njen inverz pa je 
\begin{equation}
    \label{stereo_i}
    \sigma^{-1}(x,y,z) = \left(\tfrac{2x}{1-z}, \tfrac{2y}{1-z},-1\right).
\end{equation}
Točka $(0,0,1)$ se po zgornjem predpisu preslika v točko v neskončnosti.

V nadaljevanju bomo potrebovali dve pomembni lastnosti stereografske projekcije in njenega inverza. Prvič, obe preslikavi sta konformni preslikavi, in drugič, stereografska projekcija slika krožnice v ravnini v krožnice na sferi. Slednja lastnost velja tudi za inverzno stereografsko projekcijo, z izjemo krožnic, ki potekajo skozi točko $(0,0,1)$, saj se te preslikajo v premice. 

\subsection{Metoda kompozituma}
Parametrizacije delov sfere nad platonskimi telesi bomo določili s pomočjo metode kompozituma. Platonska telesa v sfero včrtamo tako, da so njihove najnižje ploskve vzporedne ravnini $\Pi$. V nadaljevanju bomo predstavili postopek za opis tistega dela sfere, ki se razpenja nad najnižjo ploskvijo posameznega sferi včrtanega platonskega telesa. V vseh petih primerih je del sfere, ki ga želimo predstaviti, del neke južne sferične kapice, zato bomo s pomočjo le-te predstavili splošno metodo, ki jo lahko nato uporabimo za vsako platonsko telo posebej. 

Metoda kompozituma sestoji iz dveh korakov. Najprej del sfere, ki ga želimo predstaviti, s pomočjo inverzne stereografske projekcije preslikamo na ravnino $\Pi$ in poiščemo parametrizacijo dobljenega ravninskega območja v obliki racionalne S-ploskve $\Tilde{S}$ globine $2$. Nato ploskev $\Tilde{S}$ s stereografsko projekcijo preslikamo nazaj na sfero in določimo parametrizacijo dobljenega dela sfere v obliki S-ploskve $S$ globine $4$. Dobljena ploskev $S$ je tako rezultat kompozicije dveh preslikav; parametrizacije $\Tilde{S}$ in stereografske projekcije. 

Najprej si oglejmo, kako v prvem koraku metode kompozituma določimo ravninsko S-ploskev $\Tilde{S}$. Naj $C$ označuje krožnico, ki omejuje sferično kapico. Za vsako platonsko telo velja, da je njegova najnižja ploskev včrtana krožnici $C$, ki pripada neki sferični kapici. Enačbo krožnice $C$ lahko zapišemo v obliki  
\begin{equation*}
    C = \left \{\left(\rho \cos(\varphi), \rho \sin(\varphi),\zeta \right) ~|~ 0 \leq \varphi < 2\pi,~\rho = \sqrt{1-\zeta^2}\right \},
\end{equation*}
kjer $\zeta$ predstavlja višino najnižje ploskve telesa. Oglišča te ploskve ležijo na krožnici $C$ in jih lahko zapišemo v obliki
\begin{equation*}
    \mathbf{p}_k = (\rho \cos(\varphi_k), \rho \sin(\varphi_k), \zeta), \quad \varphi_k=\varphi_0+2\pi\frac{k}{n}, \quad k \in \{1, 2, \ldots, n\},
\end{equation*}
za izbran $\varphi_0 \in \mathbb{R}$. Krožnico $C$ in točke $\mathbf{p}_k$ z inverzno stereografsko projekcijo preslikamo na ravnino $\Pi$. Inverzna stereografska projekcija bo krožnico $C$ preslikala v krožnico $\Tilde{C}$. Enačbo krožnice $\Tilde{C}$ izračunamo s pomočjo predpisa \eqref{stereo_i} in dobimo
\begin{equation*}
    \tilde{C} = \left\{\left(\tilde{\rho} \cos(\varphi),\tilde{\rho}\sin(\varphi) \right)~|~ 0 \leq \varphi < 2\pi,~ \tilde{\rho} = 2 \sqrt{\frac{1+\zeta}{1-\zeta}} \right\},
\end{equation*}
kjer zadnjo komponento izpustimo, saj je enaka $-1$. Na enak način izračunamo slike točk $\mathbf{p}_k$ in dobimo točke 
\begin{equation}
    \label{eq:tocke_b}
    \mathbf{b}_{2 \mathbf{e}_k} = (\tilde{\rho} \cos(\varphi_k), \tilde{\rho} \sin(\varphi_k)), \quad k \in \{1, 2, \ldots, n\},
\end{equation}
kjer $\mathbf{e}_k$ označuje $n$-terico, ki ima na $k$-tem mestu število $1$, drugje pa ničle. 
Točke $\mathbf{b}_{2 \mathbf{e}_k}$ ležijo na krožnici $\Tilde{C}$ in predstavljajo tiste robne kontrolne točke ravninske S-ploskve $\Tilde{S}$, ki so povezane z oglišči domenskega $n$-kotnika. Uteži teh kontrolnih točk so enake $1$.

Ravninska ploskev $\Tilde{S}$ leži znotraj krožnice $\Tilde{C}$ in je omejena s krožnimi loki, ki jih omejujejo točke \eqref{eq:tocke_b}. Določiti moramo še sredinske kontrolne točke teh krožnih lokov, tj.~robne kontrolne točke oblike $\mathbf{b}_{\mathbf{e}_k+\mathbf{e}_{k+1}}, k \in \{1, 2, \ldots, n\}$, kjer indeks $k$ razumemo ciklično. Postopek za določitev racionalne Bézierjeve krivulje stopnje $2$, ki predstavlja krožni lok, je standarden. Kontrolne točke take krivulje morajo določati enakokrak trikotnik, utež srednje kontrolne točke pa mora biti enaka $\cos \alpha$. Kot $\alpha$ v tem primeru označuje notranji kot enakokrakega trikotnika, ki je ponazorjen na sliki \ref{fig:boundary_arcs}. Tako določimo vse robne kontrolne točke in uteži ploskve $\Tilde{S}$. V primeru, da ima $\Tilde{S}$ tudi notranje kontrolne točke, lahko te izberemo poljubno, dokler ležijo v notranjosti ploskve.

Za določitev ravninske ploskve $\Tilde{S}$ torej potrebujemo parametre $\zeta$, $\varphi_0$ in $\alpha$, ki so vsi odvisni od izbire platonskega telesa. Kot $\varphi_0$ je odvisen od tega, kako platonsko telo včrtamo v sfero in od števila stranic njegovih ploskev, kot $\alpha$ pa izračunamo kot 
\begin{equation}
    \label{eq:kot_alpha}
    \alpha = \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{q} - \frac{1}{2}\right) \pi,
\end{equation}
kjer $n$ predstavlja število stranic posamezne ploskve telesa, $q$ pa število stranic, ki se stikajo v vsakem oglišču. Formulo \eqref{eq:kot_alpha} dobimo po sledečem postopku. Recimo, da želimo s S-ploskvami pokriti celotno sfero in sicer tako, da se ploskve ne prekrivajo, razen po robnih krivuljah. Te robne krivulje se stikajo v ogliščih platonskih teles in kot $\gamma$ med dvema robnima krivuljama iste S-ploskve je enak $\tfrac{2\pi}{q}$. Omenili smo, da je inverzna stereografska projekcija konformna preslikava, kar pomeni, da mora biti tudi kot med dvema robnima krivuljama ravninske S-ploskve $\Tilde{S}$ enak $\gamma$. V ravnini opazimo, da velja $\gamma = 2\alpha+\beta$, kjer je $\beta$ notranji kot pravilnega $n$-kotnika, ki ga določajo točke \eqref{eq:tocke_b}. Velja $\beta = \tfrac{n-2}{n}\pi$ in $\alpha=\tfrac{\gamma-\beta}{2}$, kar se poenostavi v formulo \eqref{eq:kot_alpha}.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.6\textwidth]{boundary_arcs.png}
    \caption{Kontrolne točke $\mathbf{b}_{2 \mathbf{e}_k}$, $\mathbf{b}_{\mathbf{e}_k + \mathbf{e}_{k+1}}$, $\mathbf{b}_{2\mathbf{e}_{k+1}}$, $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$, ravninske S-ploskve $\Tilde{S}$ tvorijo enakokrak trikotnik z notranjim kotom $\alpha$ (rdeča). Krožni lok, ki ga te točke in njihove uteži določajo, je označen črtkano.}
    \label{fig:boundary_arcs}
\end{figure}

V drugem koraku metode kompozituma najprej uporabimo formulo \eqref{stereo} za stereografsko projekcijo in dobljeno ploskev $\Tilde{S}$ preslikamo nazaj na sfero. Nato poiščemo predstavitev dobljenega območja na sferi v obliki S-ploskve $S$ globine $4$ glede na definicijo \ref{def:S}. Za določitev kontrolnih točk in uteži ploskve $S$ si pomagamo s programskim paketom \emph{Mathematica}.


\section{Predstavitve delov sfere nad platonskimi telesi}
Konstrukcijo, opisano v poglavju \ref{poglavje_metoda}, sedaj uporabimo na vseh petih platonskih telesih, to so tetraeder, oktaeder in ikozaeder s tristranimi ploskvami, kocka s štiristranimi ploskvami in dodekaeder s petstranimi ploskvami. Telesa v sfero včrtamo tako, da so njihove najnižje ploskve vzporedne ravnini $\Pi$ in simetrične glede na ravnino $x=0$. V primeru, da ima ploskev tri oz.~pet stranic, jo postavimo tako, da je $y$-koordinata oglišča, ki leži v ravnini $x=0$, pozitivna. Kocko postavimo tako, da nobeno oglišče njene najnižje ploskve ne leži v ravnini $x=0$. 

V tabeli \ref{table:parameters} so zbrani parametri, ki jih potrebujemo za določitev robnih kontrolnih točk ploskve $\Tilde{S}$ v prvem koraku metode kompozituma. Za notranje kontrolne točke ploskve $\Tilde{S}$ v primeru kocke izberemo točko $(0,0)$ in utež $\cos \alpha$, v primeru dodekaedra pa s faktorjem $\tfrac{1}{3}$ pomnožimo robne kontrolne točke, podane s \eqref{eq:tocke_b}, njihove uteži pa prav tako nastavimo na $\cos \alpha$. 

Slike \ref{subfig:tetra1}--\ref{subfig:dodeka1} prikazujejo dobljene ravninske ploskve $\Tilde{S}$, slike \ref{subfig:tetra2}--\ref{subfig:dodeka2} pa dobljene ploskve $S$ na sferi, ki so rezultat drugega koraka metode kompozituma. Kontrolnih točk in uteži ploskev $S$ tukaj ne navajamo, temveč bralca napotimo na članek \cite{groselj} ali demonstracijo \cite{sadl}. Z ustreznimi rotacijami dobljenih ploskev $S$ lahko pokrijemo celotno sfero, kar prikazujejo slike \ref{subfig:tetra3}--\ref{subfig:dodeka3}.

\begin{table}[!ht]
    \centering
    \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
    \begin{tabular}{cccccc}
         \hline 
          \textbf{Platonsko telo} & $n$ & $q$ & $\zeta$ & $\varphi_0$ & $\alpha$ \\ \hline

          Tetraeder & $3$ & $3$ & $\displaystyle -\tfrac{1}{3}$  & $\displaystyle \tfrac{\pi}{2}$ & $\displaystyle \tfrac{\pi}{6}$ \\ 
         
          Oktaeder & $3$ & $4$ & $\displaystyle -\tfrac{\sqrt{3}}{3}$ & $\displaystyle \tfrac{\pi}{2}$ & $\displaystyle \tfrac{\pi}{12}$ \\  
         
          Ikozaeder & $3$ & $5$ & $ -\sqrt{\tfrac{1}{15}\left(5+2\sqrt{5}\right)}$ & $\displaystyle \tfrac{\pi}{2}$ & $\displaystyle \tfrac{\pi}{30}$ \\ 
         
          Kocka & $4$ & $3$ & $\displaystyle -\tfrac{\sqrt{3}}{3}$ & $\displaystyle \tfrac{3\pi}{4}$ & $\displaystyle \tfrac{\pi}{12}$ \\ 
         
          Dodekaeder & $5$ & $3$ & $ -\sqrt{\tfrac{1}{15}\left(5+2\sqrt{5}\right)}$ & $\displaystyle \tfrac{9\pi}{10}$ & $\displaystyle \tfrac{\pi}{30}$ \\ [1.1ex] \hline
    \end{tabular}
    \renewcommand{\arraystretch}{1}
    \caption{Parametri $n$, $q$, $\zeta$, $\varphi_0$ in $\alpha$.}
    \label{table:parameters}
\end{table}

\begin{figure}[!ht]%
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{3t_ravninska_S.pdf}
    \caption{Ravninska S-ploskev $\tilde{S}$.}
    \label{subfig:tetra1}
    \end{subfigure}
    \qquad
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.85\textwidth]{3t_koncna.pdf}
    \caption{S-ploskev $S$ na sferi.}
    \label{subfig:tetra2}
    \end{subfigure}
    \qquad
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.81\textwidth]{3t_whole_sphere.pdf}
    \caption{Celotna sfera.}
    \label{subfig:tetra3}
    \end{subfigure}
    \caption{S-ploskvi $\Tilde{S}$ in $S$ v primeru tetraedra in celotna sfera, pokrita s štirimi S-ploskvami.}% 
    \label{fig:tetra}% 
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]%
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.85\textwidth]{3o_ravninska_S.png}
    \caption{Ravninska S-ploskev $\tilde{S}$.}
    \label{subfig:octa1}
    \end{subfigure}
    \qquad
     \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{3o_koncna.pdf}
     \caption{S-ploskev $S$ na sferi.}
     \label{subfig:octa2}
     \end{subfigure}
     \qquad
     \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
     \centering
     \includegraphics[width=0.84\textwidth]{3o_whole_sphere.pdf}
     \caption{Celotna sfera.}
     \label{subfig:octa3}
     \end{subfigure}
     \caption{S-ploskvi $\Tilde{S}$ in $S$ v primeru oktaedra in celotna sfera, pokrita z osmimi S-ploskvami.}%
    \label{fig:octa}%
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]%
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.92\textwidth]{3i_ravninska_S.png}
    \caption{Ravninska S-ploskev $\tilde{S}$.}
    \label{subfig:ikoza1}
    \end{subfigure}
    \qquad
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.88\textwidth]{3i_koncna.pdf}
    \caption{S-ploskev $S$ na sferi.}
    \label{subfig:ikoza2}
    \end{subfigure}
    \qquad
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.83\textwidth]{3i_whole_sphere.pdf}
    \caption{Celotna sfera.}
    \label{subfig:ikoza3}
    \end{subfigure}
    \caption{S-ploskvi $\Tilde{S}$ in $S$ v primeru ikozaedra in celotna sfera, pokrita z dvajsetimi S-ploskvami.}%
    \label{fig:ikoza}%
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]%
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{4_ravninska_S.png}
    \caption{Ravninska S-ploskev $\tilde{S}$.}
    \label{subfig:cube1}
    \end{subfigure}
    \qquad
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{4_koncna.pdf}
    \caption{S-ploskev $S$ na sferi.}
    \label{subfig:cube2}
    \end{subfigure}
    \qquad
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.82\textwidth]{4_whole_sphere.pdf}
    \caption{Celotna sfera.}
    \label{subfig:cube3}
    \end{subfigure}
    \caption{S-ploskvi $\Tilde{S}$ in $S$ v primeru kocke in celotna sfera, pokrita s šestimi S-ploskvami.}%
    \label{fig:cube}% 
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]%
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.85\textwidth]{5_ravninska_S.png}
    \caption{Ravninska S-ploskev $\tilde{S}$.}
    \label{subfig:dodeka1}
    \end{subfigure} 
    \qquad
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.82\textwidth]{5_koncna.pdf}
    \caption{S-ploskev $S$ na sferi.}
    \label{subfig:dodeka2}
    \end{subfigure}
    \qquad
    \begin{subfigure}[b]{0.28\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=0.82\textwidth]{5_whole_sphere.pdf}
    \caption{Celotna sfera.}
    \label{subfig:dodeka3}
    \end{subfigure}
    \caption{S-ploskvi $\Tilde{S}$ in $S$ v primeru dodekaedra in celotna sfera, pokrita z dvanajstimi S-ploskvami.}%
    \label{fig:dodeka}% 
\end{figure}


\begin{thebibliography}{9}

    \bibitem{cobb}
    J.~E.~Cobb, \emph{Tiling the sphere with rational {B}\'{e}zier patches}, University of Utah Computer Science Technical Report (1988), 1--14.

    \bibitem{farin}
    G.~Farin, B.~Piper in A.~J.~Worsey, \emph{The octant of a sphere as a non-degenerate triangular {B}\'{e}zier patch}, Computer Aided Geometric Design 4 (1987), 329--332.

    \bibitem{groselj}
    J.~Grošelj in  A.~\v{S}adl Praprotnik, \emph{Exact {S}phere {R}epresentations over {P}latonic {S}olids {B}ased on {R}ational {M}ultisided {B}ézier {P}atches}, Computer Aided Geometric Design 98 (2022), 102148.

    \bibitem{loop}
    C.~T.~Loop in T.~D.~DeRose, \emph{A multisided generalization of {B}\'{e}zier surfaces}, ACM Trans. Graph. 8 (1989), 204--234.    

    \bibitem{sadl}
    A.~\v{S}adl Praprotnik, \emph{Exact {S}phere {R}epresentations over {P}latonic {S}olids {B}ased on {R}ational {M}ultisided {B}ézier {P}atches}, Wolfram Demonstrations Project (2022).

\end{thebibliography}









\end{document}
